Без кейворда

Денис Парфенов    | 2021.08.09

Бросок обычной шестигранной кости - это знакомый пример случайного эксперимента , действия, для которого можно перечислить все возможные результаты, но для которого фактический результат любого конкретного испытания эксперимента невозможно предсказать с уверенностью. В такой ситуации мы хотим присвоить каждому результату, такому как выпадение двойки, число, называемое вероятностью результата, которое указывает, насколько вероятно, что результат произойдет. Точно так же мы хотели бы присвоить вероятность любому событию или совокупности результатов, например, выпадение четного числа, которое указывает, насколько вероятно, что событие произойдет, если эксперимент будет проведен. В этом разделе представлена ​​структура для обсуждения вероятностных проблем с использованием только что упомянутых терминов.

Определение

Случайным образом экспериментпредставляет собой механизм , который производит определенный результат , который не может быть предсказан с уверенностью. Пространство выборки Множество всех возможных результатов случайного эксперимента. со случайным экспериментом связан набор всех возможных результатов. Событие Любой набор результатов. является подмножеством выборочного пространства.

Определение

Событие Е называется происходитна конкретном испытании эксперимента , если исход наблюдается элемент множества Е .

Пример 1

Постройте образец пространства для эксперимента, который состоит из подбрасывания единственной монеты.

Результаты можно обозначить буквой h для орла и t для решки. Тогда примерное пространство - это множество S = .

Пример 2

Постройте образец пространства для эксперимента, который состоит из прокатки одной матрицы. Найдите события, соответствующие фразам «выпадает четное число» и «выпадает число больше двух».

Результаты могут быть помечены в соответствии с количеством точек на верхней грани кубика. Тогда примерное пространство - это множество S = .

Результаты, которые даже в 2, 4 и 6, так что событие , которое соответствует фразе «четное число прокатывается» есть множество , который естественно обозначить буквой Е . Мы пишем E = .

Аналогичным образом , событие , которое соответствует фразе «число больше двух прокатывают» является множество Т = , который мы обозначили Т .

Графическое представление выборочного пространства и событий представляет собой диаграмму Венна, как показано на рисунке 3.1 «Диаграммы Венна для двух выборочных пространств» для примечания 3.6 «Пример 1» и примечания 3.7 «Пример 2». В общем случае пространство выборки S представлено прямоугольником, результаты - точками внутри прямоугольника, а события - овалами, которые охватывают исходы, составляющие их.

Рисунок 3.1 Диаграммы Венна для двух пробелов

Пример 3

Случайный эксперимент состоит из подбрасывания двух монет.

  1. Создайте образец пространства для ситуации, в которой монеты неотличимы, например, два совершенно новых пенни.
  2. Создайте образец пространства для ситуации, в которой монеты различимы, например, один пенни, а другой никель.
  1. После того, как монеты подброшены, можно увидеть либо две головы, которые могут быть обозначены как 2 h, две решки, которые могут быть обозначены как 2 t, либо монеты, которые могут быть обозначены как d . Таким образом, образец пространства S = .
  2. Поскольку мы можем отличить монеты друг от друга, теперь есть два способа различать монеты: пенни-головы и никелевые хвосты или пенни-решки и никелевые головы. Мы можем обозначить каждый результат как пару букв, первая из которых указывает, как приземлился пенни, а вторая из которых указывает, как приземлился никель. Тогда образец пространства S ′ = .

Устройство, которое может быть полезно для определения всех возможных результатов случайного эксперимента, особенно такого, который можно рассматривать как продолжающийся поэтапно, - это так называемая древовидная диаграмма. Это описано в следующем примере.

Пример 4

Постройте пространство выборки, которое описывает все семьи с тремя детьми в соответствии с полами детей и порядком рождения.

Два результата: «два мальчика, затем девочка», что мы могли бы обозначить bbg, и «девочка, затем два мальчика», что мы могли бы обозначить gbb. Очевидно, что есть много результатов, и когда мы пытаемся перечислить их все, может быть трудно быть уверенным, что мы нашли их все, если мы не будем действовать систематически. Древовидная диаграмма, показанная на Рисунке 3.2 «Древовидная диаграмма для семей с тремя детьми», дает систематический подход.

Рисунок 3.2 Древовидная диаграмма для семей с тремя детьми

Схема была построена следующим образом. Есть два варианта для первого ребенка, мальчика или девочки, поэтому мы рисуем два отрезка линии, выходящие из начальной точки, один из которых заканчивается буквой b для «мальчика», а другой - буквой g для «девочки». Для каждой из этих двух возможностей для первого ребенка есть две возможности для второго ребенка, «мальчик» или «девочка», поэтому из каждого из b и g мы рисуем два отрезка линии, один сегмент заканчивается на b, а другой - на г . Для каждой из четырех конечных точек на диаграмме есть две возможности для третьего ребенка, поэтому мы повторяем процесс еще раз.

Отрезки линии называются ветвямидерева. Правая конечная точка каждой ветви называется узлом. Крайние правые узлы- это конечные узлы; каждому соответствует результат, как показано на рисунке.

По дереву легко считать восемь результатов эксперимента, поэтому пространство выборки, читая сверху вниз от последних узлов в дереве,

Вероятность

Определение

Вероятность итогового числа А , что измеряет вероятность исхода. e в пространстве отсчетов S - это число p между 0 и 1, которое измеряет вероятность того, что e произойдет в одном испытании соответствующего случайного эксперимента. Значение p = 0 соответствует невозможности результата e , а значение p = 1 соответствует определенному результату e .

Определение

Вероятность события числа А , что измеряет вероятность события. A - это сумма вероятностей отдельных результатов, из которых она состоит. Обозначается P (A).

Следующая формула выражает содержание определения вероятности события:

Если событие E равно E = , то

P (E) = P (e 1) + P (e 2) + · · · + P (ek)

Рисунок 3.3 Примерные пространства и вероятность

Поскольку все пространство выборки S является событием, которое обязательно произойдет, сумма вероятностей всех исходов должна быть равна 1.

На обычном языке вероятности часто выражаются в процентах. Например, мы можем сказать, что вероятность дождя завтра составляет 70%, что означает, что вероятность дождя составляет 0,70. Мы будем использовать эту практику здесь, но во всех последующих расчетных формулах мы будем использовать форму 0,70, а не 70%.

Пример 5

Монета называется «сбалансированной» или «справедливой», если каждая из сторон с равной вероятностью приземлится. Присвойте вероятность каждому исходу в пространстве выборки для эксперимента, который состоит из подбрасывания единственной честной монеты.

С результатами, помеченными h для орла и t для решки, пространство выборки - это множество S = . Поскольку исходы имеют одинаковые вероятности, которые в сумме должны составлять 1, каждому исходу присваивается вероятность 1/2.

Пример 6

Кость называется «сбалансированной» или «справедливой», если каждая из сторон с равной вероятностью приземлится на вершине. Присвойте вероятность каждому исходу в пространстве выборки для эксперимента, который состоит из подбрасывания единственной справедливой кости. Найдите вероятности событий E : «выпало четное число» и T : «выпало число больше двух».

С результатами, помеченными в соответствии с количеством точек на верхней грани кубика, пространство выборки представляет собой набор S = . Поскольку существует шесть равновероятных исходов, которые в сумме должны составлять 1, каждому присваивается вероятность 1/6.

Поскольку E = , P (E) = 1 ∕ 6 + 1 ∕ 6 + 1 ∕ 6 = 3 ∕ 6 = 1 ∕ 2.

Поскольку T = , P (T) = 4 ∕ 6 = 2 ∕ 3.

Пример 7

Брошены две честные монеты. Найдите вероятность совпадения монет, т. Е. Либо выпадение орла, либо решка приземления.

В примечании 3.8 «Пример 3» мы построили пространство выборки S = ​​ для ситуации, в которой монеты идентичны, и пространство выборки S ′ = для ситуация, в которой две монеты можно разделить.

Теория вероятности не говорит нам, как назначать вероятности исходам, а только что с ними делать после того, как они назначены. В частности, используя пространство отсчетов S, совпадение монет - это событие M = , которое имеет вероятность P (2 h) + P (2 t). Используя пространство отсчетов S ′, совпадающие монеты - это событие M ′ = , которое имеет вероятность P (hh) + P (tt). В физическом мире не должно иметь значения, идентичны ли монеты или нет, поэтому мы хотели бы присвоить вероятности исходам, чтобы числа P (M) и P (M ′) были одинаковыми и лучше всего соответствовали тому, что мы наблюдайте, когда реальные физические эксперименты проводятся с монетами, которые кажутся справедливыми. Фактический опыт показывает, что результаты в S равновероятны, поэтому мы присваиваем каждой вероятности 1∕4, а затем

P (M ′) = P (hh) + P (tt) = 1 4 + 1 4 = 1 2

Аналогичным образом, исходя из опыта, подходящими вариантами результатов в S являются:

P (2 h) = 1 4 P (2 t) = 1 4 P (d) = 1 2

которые дают тот же окончательный ответ

P (M) = P (2 h) + P (2 t) = 1 4 + 1 4 = 1 2

Предыдущие три примера иллюстрируют, как можно вычислить вероятности простым подсчетом, когда пространство выборки состоит из конечного числа равновероятных исходов. В некоторых ситуациях индивидуальные результаты любого пространства выборки, представляющего эксперимент, неизбежно неодинаково вероятны, и в этом случае вероятности не могут быть вычислены простым подсчетом, но должна использоваться вычислительная формула, приведенная в определении вероятности события.

Пример 8

Распределение студентов в местной средней школе по расе и этнической принадлежности: 51% белых, 27% черных, 11% испаноязычных, 6% азиатских и 5% всех остальных. Из этой средней школы случайным образом выбирается ученик. (Выбор «случайным образом» означает, что все учащиеся имеют одинаковые шансы быть выбранными.) Найдите вероятности следующих событий:

  1. B : студент черный,
  2. М : ученик - меньшинство (то есть не белый),
  3. N : студент не черный.

Эксперимент представляет собой случайный выбор учащегося из числа учащихся старшей школы. Очевидное примерное пространство S = . Поскольку 51% студентов белые и все студенты имеют одинаковые шансы быть отобранными, P (w) = 0,51, и аналогично для других результатов. Эта информация представлена ​​в следующей таблице:

  1. Поскольку B = , P (B) = P (b) = 0,27.
  2. Поскольку M = , P (M) = P (b) + P (h) + P (a) + P (o) = 0,27 + 0,11 + 0,06 + 0,05 = 0,49
  3. Поскольку N = , P (N) = P (w) + P (h) + P (a) + P (o) = 0,51 + 0,11 + 0,06 + 0,05 = 0,73

Пример 9

Контингент учащихся средней школы, рассмотренный в примечании 3.18 «Пример 8», можно разбить на десять категорий следующим образом: 25% белых мужчин, 26% белых женщин, 12% чернокожих мужчин, 15% чернокожих женщин, 6% латиноамериканских мужчин, 5% латиноамериканских женщин, 3% азиатских мужчин, 3% азиатских женщин, 1% мужчин из других меньшинств вместе взятых и 4% женщин из других меньшинств вместе взятых. Из этой средней школы случайным образом выбирается ученик. Найдите вероятности следующих событий:

  1. B : студент черный,
  2. MF: студентка из меньшинства,
  3. ФН: ученица женского пола, а не черного цвета.

Теперь примерное пространство S = . Информация, приведенная в примере, может быть сведена в следующую таблицу, которая называется двусторонней таблицей непредвиденных обстоятельств :

Пол Раса / этническая принадлежность белый Чернить Латиноамериканец Азиатский Другие
Мужской 0,25 0,12 0,06 0,03 0,01
Женский 0,26 0,15 0,05 0,03 0,04
  1. Поскольку B = , P (B) = P (bm) + P (bf) = 0,12 + 0,15 = 0,27.
  2. Поскольку MF = , P (M) = P (bf) + P (hf) + P (af) + P (of) = 0,15 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,27
  3. Поскольку FN = , P (FN) = P (wf) + P (hf) + P (af) + P (of) = 0,26 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,38

Ключевые выводы

  • Пространство выборки случайного эксперимента - это совокупность всех возможных результатов.
  • Событие, связанное со случайным экспериментом, представляет собой подмножество выборочного пространства.
  • Вероятность любого исхода - это число от 0 до 1. Сумма вероятностей всех исходов равна 1.
  • Вероятность любого события А равна сумме вероятностей исходов A .

Упражнения

Базовый

В коробке 10 белых и 10 черных шариков. Постройте пробное пространство для эксперимента по случайному вытягиванию с заменой двух шариков подряд и отмечая цвет каждый раз. (Вытягивание «с заменой» означает, что первый шарик кладется обратно до того, как будет вытянут второй шарик.)

В коробке 16 белых и 16 черных шариков. Создайте образец пространства для эксперимента по случайному вытягиванию с заменой трех шариков подряд и каждый раз отмечая цвет. (Вытягивание «с заменой» означает, что каждый шарик кладется обратно до того, как будет вытянут следующий шарик.)

В коробке 8 красных, 8 желтых и 8 зеленых шариков. Постройте образец пространства для эксперимента по случайному вытягиванию с заменой двух шариков подряд и отмечая цвет каждый раз.

В коробке 6 красных, 6 желтых и 6 зеленых шариков. Создайте образец пространства для эксперимента по случайному вытягиванию с заменой трех шариков подряд и каждый раз отмечая цвет.

В случае упражнения 1 перечислите результаты, которые составляют каждое из следующих событий.

  1. Отрисовывается хотя бы один шарик каждого цвета.
  2. Белый мрамор не рисуется.

В случае упражнения 2 перечислите результаты, которые составляют каждое из следующих событий.

  1. Отрисовывается хотя бы один шарик каждого цвета.
  2. Белый мрамор не рисуется.
  3. Рисуется больше черных, чем белых шариков.

В случае упражнения 3 перечислите результаты, которые составляют каждое из следующих событий.

  1. Желтый мрамор не рисуется.
  2. Два нарисованных шарика имеют одинаковый цвет.
  3. Отрисовывается хотя бы один шарик каждого цвета.

В случае упражнения 4 перечислите результаты, которые составляют каждое из следующих событий.

  1. Желтый мрамор не рисуется.
  2. Три нарисованных шарика имеют одинаковый цвет.
  3. Отрисовывается хотя бы один шарик каждого цвета.

Предполагая, что каждый исход одинаково вероятен, найдите вероятность каждого события в упражнении 5.

Предполагая, что каждый исход одинаково вероятен, найдите вероятность каждого события в упражнении 6.

Предполагая, что каждый исход одинаково вероятен, найдите вероятность каждого события в упражнении 7.

Предполагая, что каждый исход одинаково вероятен, найдите вероятность каждого события в упражнении 8.

Примерное пространство S = . Обозначьте два события как U = и V = . Предположим, что P (a) и P (b) равны 0,2, а P (c) и P (d) равны 0,1.

  1. Определите, каким должно быть P (e).
  2. Найдите P (U).
  3. Найдите P (V).

Примерное пространство S = . Обозначьте два события как A = и B = . Предположим, что P (u) = 0,22, P (w) = 0,36 и P (x) = 0,27.

  1. Определите, каким должно быть P (v).
  2. Найдите P (A).
  3. Найдите P (B).

Примерное пространство S = . Обозначьте два события как U = и V = . Вероятности некоторых исходов представлены в следующей таблице:

  1. Определите, каким должно быть P (q).
  2. Найдите P (U).
  3. Найдите P (V).

Примерное пространство S = . Обозначьте два события как M = и N = . Вероятности некоторых исходов представлены в следующей таблице:

  1. Определите, каким должно быть P (g).
  2. Найдите P (M).
  3. Найдите P (N).

Приложения

Пространство выборки, которое описывает все семьи с тремя детьми в соответствии с полами детей и порядком рождения, было построено в Примечании 3.9 «Пример 4». Определите результаты, которые составляют каждое из следующих событий в эксперименте по случайному выбору семьи из трех детей.

  1. По крайней мере, один ребенок - девочка.
  2. Максимум один ребенок - девочка.
  3. Все дети девочки.
  4. Ровно двое детей девочки.
  5. Первенец - девочка.

Примерное пространство, описывающее три подбрасывания монеты, такое же, как и в примечании 3.9 «Пример 4», где «мальчик» заменен «орлами», а «девочка» - «решкой». Определите результаты, которые составляют каждое из следующих событий в эксперименте по подбрасыванию монеты три раза.

  1. Монета чаще выпадает орлом, чем решкой.
  2. Монета выпадает орлом столько же раз, сколько решка.
  3. Монета выпадет орлом как минимум дважды.
  4. При последнем броске монета выпадает орлом.

Предполагая, что результаты одинаково вероятны, найдите вероятность каждого события в упражнении 17.

Предполагая, что результаты одинаково вероятны, найдите вероятность каждого события в упражнении 18.

Дополнительные упражнения

Следующая двусторонняя таблица непредвиденных обстоятельств дает разбивку населения в конкретном регионе в зависимости от возраста и употребления табака:

Возраст Употребление табака Курильщик Некурящий
До 30 лет 0,05 0,20
За 30 0,20 0,55

Человек выбирается случайным образом. Найдите вероятность каждого из следующих событий.

  1. Человек курит.
  2. Человек младше 30 лет.
  3. Это курильщик моложе 30 лет.

Следующая двусторонняя таблица непредвиденных обстоятельств дает разбивку населения в конкретном регионе в зависимости от партийной принадлежности ( A , B , C или None ) и мнения о выпуске облигаций:

Принадлежность Мнение Сувениры Противостоит Не определился
А 0,12 0,09 0,07
B 0,16 0,12 0,14
C 0,04 0,03 0,06
Никто 0,08 0,06 0,03

Человек выбирается случайным образом. Найдите вероятность каждого из следующих событий.

  1. Человек связан с партией B .
  2. Человек связан с какой-то партией.
  3. Человек выступает за выпуск облигаций.
  4. Лицо не имеет партийной принадлежности и не определилось с выпуском облигаций.

Следующая двусторонняя таблица непредвиденных обстоятельств дает разбивку населения замужних или ранее замужних женщин старше детородного возраста в конкретном регионе в зависимости от возраста вступления в первый брак и количества детей:

Возраст Число детей 0 1 или 2 3 или более
До 20 лет 0,02 0,14 0,08
20–29 0,07 0,37 0,11
30 и старше 0,10 0,10 0,01

Женщина выбирается случайным образом. Найдите вероятность каждого из следующих событий.

  1. Этой женщине было около двадцати при первом браке.
  2. Женщине было 20 лет и старше в первом браке.
  3. У женщины не было детей.
  4. Этой женщине было около двадцати лет в первом браке, и у нее было как минимум трое детей.

Следующая двусторонняя таблица непредвиденных обстоятельств дает разбивку населения взрослого населения в конкретном регионе в соответствии с наивысшим уровнем образования и тем, регулярно ли человек принимает пищевые добавки:

Образование Использование добавок Берет Не берет
Нет диплома средней школы 0,04 0,06
Диплом средней школы 0,06 0,44
Степень бакалавра 0,09 0,28
Высшее образование 0,01 0,02

Взрослый выбирается случайным образом. Найдите вероятность каждого из следующих событий.

  1. Человек имеет аттестат о среднем образовании и регулярно принимает пищевые добавки.
  2. Человек имеет высшее образование и регулярно принимает пищевые добавки.
  3. Человек регулярно принимает пищевые добавки.
  4. Человек не принимает регулярно пищевые добавки.

Упражнения по работе с большими наборами данных

Примечание. Эти наборы данных отсутствуют, но вопросы приведены здесь для справки.

В больших наборах данных 4 и 4A записываются результаты 500 подбрасываний монеты. Найдите относительную частоту каждого результата 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Монета кажется «сбалансированной» или «справедливой»?

Денис Парфенов Автор статей

Постоянный автор и редактор новостных статей, посвященных гемблингу и спорту, фанат казино и карточных игр, независимый обозреватель спортивых мероприятий.